The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

(0) Obligation:

Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0, n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0 → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Rewrite Strategy: FULL

(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)

The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2ⁿ):
The rewrite sequence
activate(n__length(n__cons(X1369088_7, X2369089_7))) →⁺ U91(isNatList(activate(X2369089_7)), activate(X2369089_7), activate(X1369088_7))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0].
The pumping substitution is [X2369089_7 / n__length(n__cons(X1369088_7, X2369089_7))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
activate(n__length(n__cons(X1369088_7, X2369089_7))) →⁺ U91(isNatList(activate(X2369089_7)), activate(X2369089_7), activate(X1369088_7))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [1].
The pumping substitution is [X2369089_7 / n__length(n__cons(X1369088_7, X2369089_7))].
The result substitution is [ ].

(2) BOUNDS(2^n, INF)

(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)

Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.

(4) Obligation:

Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL

(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)

Infered types.

(6) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
isNatIListKind, activate, isNatList, isNatKind, isNat, isNatIList, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(8) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind, isNatIListKind, activate, isNatList, isNat, isNatIList, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind.

(10) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIListKind, activate, isNatList, isNat, isNatIList, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIListKind.

(12) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
activate, isNatList, isNat, isNatIList, length

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(13) RewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Proved the following rewrite lemma:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Induction Base:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, 0)))

Induction Step:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, +(n9104_7, 1)))) →_R^Ω(1)
length(activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7)))) →_IH
length(*4_7)

We have rt ∈ Ω(n¹) and sz ∈ O(n). Thus, we have irc_R ∈ Ω(n).

(14) Complex Obligation (BEST)

(15) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
length, isNatIListKind, isNatList, isNatKind, isNat, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(16) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol length.

(17) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatList, isNatIListKind, isNatKind, isNat, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(18) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatList.

(19) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNat, isNatIListKind, isNatKind, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(20) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNat.

(21) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatKind, isNatIListKind, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(22) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatKind.

(23) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIListKind, isNatIList

They will be analysed ascendingly in the following order:
isNatIListKind = activate
isNatIListKind = isNatList
isNatIListKind = isNatKind
isNatIListKind = isNat
isNatIListKind < isNatIList
isNatIListKind = length
activate = isNatList
activate = isNatKind
activate = isNat
activate < isNatIList
activate = length
isNatList = isNatKind
isNatList = isNat
isNatList = length
isNatKind = isNat
isNatKind < isNatIList
isNatKind = length
isNat < isNatIList
isNat = length

(24) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIListKind.

(25) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

The following defined symbols remain to be analysed:
isNatIList

(26) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)

Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol isNatIList.

(27) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

No more defined symbols left to analyse.

(28) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

(29) BOUNDS(n^1, INF)

(30) Obligation:

TRS:
Rules:
zeros → cons(0', n__zeros)
U11(tt, V1) → U12(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
U12(tt, V1) → U13(isNatList(activate(V1)))
U13(tt) → tt
U21(tt, V1) → U22(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
U22(tt, V1) → U23(isNat(activate(V1)))
U23(tt) → tt
U31(tt, V) → U32(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
U32(tt, V) → U33(isNatList(activate(V)))
U33(tt) → tt
U41(tt, V1, V2) → U42(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U42(tt, V1, V2) → U43(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U43(tt, V1, V2) → U44(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U44(tt, V1, V2) → U45(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U45(tt, V2) → U46(isNatIList(activate(V2)))
U46(tt) → tt
U51(tt, V2) → U52(isNatIListKind(activate(V2)))
U52(tt) → tt
U61(tt) → tt
U71(tt) → tt
U81(tt, V1, V2) → U82(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
U82(tt, V1, V2) → U83(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U83(tt, V1, V2) → U84(isNatIListKind(activate(V2)), activate(V1), activate(V2))
U84(tt, V1, V2) → U85(isNat(activate(V1)), activate(V2))
U85(tt, V2) → U86(isNatList(activate(V2)))
U86(tt) → tt
U91(tt, L, N) → U92(isNatIListKind(activate(L)), activate(L), activate(N))
U92(tt, L, N) → U93(isNat(activate(N)), activate(L), activate(N))
U93(tt, L, N) → U94(isNatKind(activate(N)), activate(L))
U94(tt, L) → s(length(activate(L)))
isNat(n__0) → tt
isNat(n__length(V1)) → U11(isNatIListKind(activate(V1)), activate(V1))
isNat(n__s(V1)) → U21(isNatKind(activate(V1)), activate(V1))
isNatIList(V) → U31(isNatIListKind(activate(V)), activate(V))
isNatIList(n__zeros) → tt
isNatIList(n__cons(V1, V2)) → U41(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
isNatIListKind(n__nil) → tt
isNatIListKind(n__zeros) → tt
isNatIListKind(n__cons(V1, V2)) → U51(isNatKind(activate(V1)), activate(V2))
isNatKind(n__0) → tt
isNatKind(n__length(V1)) → U61(isNatIListKind(activate(V1)))
isNatKind(n__s(V1)) → U71(isNatKind(activate(V1)))
isNatList(n__nil) → tt
isNatList(n__cons(V1, V2)) → U81(isNatKind(activate(V1)), activate(V1), activate(V2))
length(nil) → 0'
length(cons(N, L)) → U91(isNatList(activate(L)), activate(L), N)
zeros → n__zeros
0' → n__0
length(X) → n__length(X)
s(X) → n__s(X)
cons(X1, X2) → n__cons(X1, X2)
nil → n__nil
activate(n__zeros) → zeros
activate(n__0) → 0'
activate(n__length(X)) → length(activate(X))
activate(n__s(X)) → s(activate(X))
activate(n__cons(X1, X2)) → cons(activate(X1), X2)
activate(n__nil) → nil
activate(X) → X

Types:
zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
0' :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__zeros :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U11 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
tt :: tt
U12 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatIListKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
activate :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U13 :: tt → tt
isNatList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U21 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U22 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
isNatKind :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U23 :: tt → tt
isNat :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U31 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U32 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U33 :: tt → tt
U41 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U42 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U43 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U44 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U45 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U46 :: tt → tt
isNatIList :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U51 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U52 :: tt → tt
U61 :: tt → tt
U71 :: tt → tt
U81 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U82 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U83 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U84 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U85 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → tt
U86 :: tt → tt
U91 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U92 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U93 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
U94 :: tt → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__0 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__length :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__s :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__cons :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
n__nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
nil :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil1_7 :: n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil
hole_tt2_7 :: tt
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7 :: Nat → n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil

Lemmas:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

Generator Equations:
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(0) ⇔ n__zeros
gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(x, 1)) ⇔ n__length(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(x))

No more defined symbols left to analyse.

(31) LowerBoundsProof (EQUIVALENT transformation)

The lowerbound Ω(n¹) was proven with the following lemma:
activate(gen_n__zeros:n__0:n__length:n__s:n__cons:n__nil3_7(+(1, n9104_7))) → *4_7, rt ∈ Ω(n9104₇)

(32) BOUNDS(n^1, INF)